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이 책은 고도의 지성을 가진 독자들을 위하여 현대수학의 세계를 개관해 보려는 의도로 씌어진 책이다. 뿐만 아니라 같은 제목의 서울대학교 교양과목 교재로 다년간 활용하게 되어 왔다.
이 책을 처음 간행한 후 21년동안 우리나라의 학문적 환경도 많이 바뀌었다. 수학에 관한 읽을거리가 거의 없던 시대가, 오늘날에는 수많은 번역서와 해설서들이 넘쳐나는 시대로 바뀌었다. 학자들이 수와 그 수준도 괄목할 만하게 높아져서 국제적으로 높은 평가를 받는 이들도 많아졌다.
수학의 세계 안에서도 놀라운 변화가 많이 나타났다. 새로운 분야, 새로운 발견, 미해결 문제의 해결이 연이어 나타나고, 일상생활에서 컴퓨터를 상용화함에 따라 정보량이 과다한 시대가 되었다. 이런 큰 변화 속에서는 수학 전문가들도 자신이 좁은 전공 분야안에서조차 따라가기 힘들게 되어 있다.
이러한 시대적 상황 속에서 이 책의 존재의의는 무엇인가? 원래의 목표는 대학 초년급 학생들에게 수학의 길잡이로서 수순 수학 전반의 고전적 내용을 소개하고 해설하는 것이었다. 더구나 고교시절에 수능이나 입시 공부에만 매달려 온 학생들에게 시야가 넓은 생동하는 학문의 면모를 보여 줄 필요가 있었다. 유능한 학자는 여행가가 견문을 넓혀가듯이, 자기의 세계를 부단한 탐구를 통하여 확대해 나가야 한다.

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목차
개정판 머리말 = ⅴ
책머리에 = ⅶ
Ⅰ. 초기의 수학
 1. 메소포타미아와 이집트의 수학 = 2
  고대의 수학 = 2
  메소포타미아의 수학 = 3
  이집트의 수학 = 6
 2. 그리스의 수학 = 10
  논증수학의 탄생과 탈레스 = 10
  피타고라스 학파 = 12
  엘레아 학파와 제논 = 17
  소피스트들과 3대 작도불능문제 = 19
  플라톤 학파 = 20
 3. 알렉산드리아 시대의 수학 = 23
  알렉산드리아의 도서관 = 23
  유클리드 = 25
  아르키메데스 = 28
  알렉산드리아 후기 = 31
 4. 인도와 아랍의 수학 = 36
  기수법 = 36
  고대 인도의 수학 = 38
  아랍의 수학 = 39
Ⅱ. 수와 대수학
 1. 서유럽에서의 초기수학 = 44
  로마 시대의 수학 = 44
  중세 유럽의 수학 = 45
  기호의 정비 = 48
 2. 근의 공식 = 51
  1차, 2차방정식의 풀이 = 51
  3차방정식의 풀이 = 53
  4차방정식의 풀이 = 55
 3. 대수학의 발전 = 57
  초기의 대수학 = 57
  16세기의 대수학 = 57
  17, 18세기의 대수학 = 59
  가우스 = 61
  19세기의 대수학 = 62
  아벨 = 65
  갈르와 = 66
  정수론의 발전 = 68
  암호론에의 응용 = 71
 4. 수의 체계 = 72
  실수의 체계 = 72
  유리수에서 실수로의 확장 - 데데킨트의 방법 = 75
  유리수에서 실수로의 확장 - 칸토르의 방법 = 77
  현대수학에서의 실수의 집합 = 78
  복소수의 체계 = 80
 5. 벡터와 행렬 = 82
  복소수, 벡터, 선형대수학 = 82
  벡터 = 83
  해밀턴의 4원수 = 85
  행렬 = 86
 6. 대수계 = 91
  연산을 가진 집합 = 91
  식의 집합 = 92
  군(群) = 94
  환(環) = 96
  체(體) = 99
  벡터공간 = 101
  속(束) = 102
  대수적 동형 = 103
Ⅲ. 도형과 기하학
 1. 기하학과 작도 = 108
  기하학의 역사 = 108
  작도 = 111
  작도가능인 수 = 111
  정다각형의 작도 = 113
  그리스 시대의 3대문제 = 114
  그 뒤의 작도문제 = 119
  3대문제가 불가능인 이유 = 120
 2. 원뿔곡선 = 123
  원뿔곡선의 역사 = 123
  세 가지 원뿔곡선의 성질 = 128
  원뿔곡선의 응용 = 130
  물리학에서의 원뿔곡선 = 132
 3. 평행선공리 = 133
  평행선공리 = 133
  사케리의 연구 = 136
  로바쳅스키-보요이의 기하학 = 137
  리이만의 기하학 = 142
 4. 해석기하학 = 146
  해석기하학의 발견 = 146
  페르마와 해석기하학 = 148
  페르마 = 150
  데카르트와 해석기하학 = 151
  2차곡선 = 153
 5. 사영기하학 = 155
  투시법과 사영기하학 = 155
  사영기하학의 역사 = 157
  군과 기하학 = 160
 6. 위상수학 = 165
  위상수학이란? = 165
  위상수학의 역사 = 166
  위상적 성질 = 171
  위상공간 = 177
  거리공간 = 179
Ⅳ. 함수와 해석학
 1. 삼각함수 = 184
  삼각법 = 184
  그리스의 삼각법 = 185
  고대 인도의 삼각법 = 186
  아랍과 페르시아의 삼각법 = 187
  유럽에서의 발전 = 187
  구면삼각법 = 189
  sin과 cos의 전개공식 = 190
  원주율 π의 계산 = 191
 2. 로그함수 = 193
  로그수의 발견 = 193
  네이피어 = 194
  네이피어의 로그수 = 195
  그 뒤의 발전 = 196
 3. 미적분학의 발견 = 199
  미적분학의 기원 = 199
  제논의 역리의 영향 = 200
  그리스의 구적법 = 201
  서유럽의 구적법 = 203
  접선법 = 205
  뉴턴과 라이프니츠의 등장 = 205
  뉴턴의 업적 = 206
  라이프니츠의 업적 = 209
 4. 함수의 개념 = 211
  교과서에 나타나는 함수의 개념 = 211
  함수 개념의 기원 = 211
  19세기 이후의 함수의 개념 = 213
  함수의 현대적인 정의 = 215
  함수의 정의에 관한 주의 = 218
  초등함수의 분류 = 219
 5. 극한과 연속 = 221
  극한과 연속의 기초 = 221
  실수의 위상적 구조 = 224
  실변수의 실함수의 극한과 연속성 = 226
  연속함수의 현대수학에서의 역할 = 230
 6. 해석학의 전개 = 231
  해석학의 역사 = 231
  급수와 함수의 전개 = 234
  푸리에급수, 리이만적분, 칸토르의 집합론 = 237
  물리현상과 미분방정식 = 240
  함수공간 = 243
Ⅴ. 집합과 수학의 기초
 1. 집합 = 250
  집합론의 시작 = 250
  기수 = 252
  서수 = 259
  집합론의 역리 = 262
  선출공리 = 264
  공리적 집합론 = 265
  칸토르 = 268
 2. 논리 = 271
  명제와 논리식 = 271
  진리값 = 272
  항진명제와 동치명제 = 274
  명제함수 = 277
  한정기호 = 278
  추론규칙 = 281
  힐버트와 아커만의 공리계 = 282
  수리논리학의 역사 = 285
 3. 수학의 형식화 = 290
  현대수학의 기본 성격 = 290
  수학의 방법 - 공리주의 = 292
  공리주의의 회고 = 295
  자연수의 공리계 = 298
  수학의 형식화 = 299
 4. 수학의 기초 = 305
  수학의 본질에 관한 견해 = 305
  논리주의 = 308
  직관주의 = 311
  형식주의 = 315
  현대수학의 재조직 = 319
  수학의 응용가능성 = 323
부록: 20세기 수학의 몇 이야기 = 327
 1900년 힐버트의 문제들 = 328
 1902년 럿셀의 역리 = 330
 1905년 아인슈타인의 상대성원리 = 331
 1912년 브라우워의 부동점 정리 = 331
 1920년 라마누잔의 업적 = 332
 1924년 바나카-타르스키 정리 = 333
 1924년 필즈 메달 = 334
 1928년 폰 노이만의 극소극대 Minimax 정리 = 335
 1931년 괴델의 불완전성 정리 = 336
 1936년 튜링의 계산기계 = 337
 1940년대 이후 전시, 전후의 수학 = 338
 1960년 비표준 해석학 = 339
 1967년 프랙탈 기하학 = 340
 1976년 네 색(Four Color) 문제 = 341
 1981년 유한단순군의 분류 = 342
 1984년 대수방정식의 풀이 = 342
 1984년 존스의 매듭이론 = 344
 1995년 페르마의 마지막 정리 = 345
 1996년 에르되쉬의 업적 = 347
 1997-99년 큰 소수들의 발견 = 348
 1998년 케플러의 예상(구쌓기 문제) = 349
 2000년 새 천년의 현상 문제들 = 350
 2002년 아벨 상(Abel Prize) = 352
참고문헌 = 355
찾아보기 = 361
「대학교양총서」 발간에 즈음하여 = 377